Test sumativ de matematică — modulul 1, clasa a VI-a

BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE

Se acordă 10 puncte din oficiu. Punctaj total: 100 de puncte. Nota finală se obține prin împărțirea punctajului total la 10. Nu se acordă punctaje intermediare altele decât cele prevăzute în barem. Orice altă metodă de rezolvare corectă se punctează integral.

SUBIECTUL 1 — Mulțimi: descriere, apartenență, incluziune [18 puncte]

1a) [6 puncte]
— 2 puncte: scrierea corectă A = {3, 4, 5, 6, 7, 8}.
— 1 punct: card A = 6.
— 2 puncte: scrierea corectă B = {1, 3, 5, 7}.
— 1 punct: card B = 4.
— Parțial (1 punct din cele 2, pentru fiecare mulțime): un singur element lipsă sau în plus (de exemplu includerea lui 9 în A sau omiterea lui 1 din B).
— ECF: cardinalul calculat corect pe mulțimea proprie greșită primește punctul de cardinal.

1b) [4 puncte]
— 2 puncte: recunoașterea proprietății comune (multiplii lui 5).
— 2 puncte: scrierea corectă a condiției de mărginire (x ≤ 20 sau x < 21 sau formulare echivalentă).
— Parțial (2 puncte în total): descriere verbală corectă („multiplii lui 5 până la 20"), fără notația cu bare.

1c) [4 puncte]
— Câte 1 punct pentru fiecare simbol corect: 7 ∈ A; 9 ∉ A; 2 ∉ B; 5 ∈ B.

1d) [4 puncte]
— 1 punct: (i) ADEVĂRAT; 1 punct: justificarea (5 și 7 aparțin amândouă lui B).
— 1 punct: (ii) FALS; 1 punct: justificarea (4 ∉ B, fiind număr par).
— Valoarea de adevăr corectă fără justificare: se acordă doar punctul pentru valoarea de adevăr.

SUBIECTUL 2 — Operații cu mulțimi [20 puncte]

2a) [4 puncte]
— 2 puncte: diagrama cu două regiuni care se intersectează, etichetate M și N.
— 2 puncte: plasarea corectă a elementelor (2, 4, 6 în intersecție; 1, 3, 5 numai în M; 8 numai în N).
— Parțial (1 punct din cele 2 pentru plasare): un singur element plasat greșit.

2b) [8 puncte]
— 2 puncte: M ∩ N = {2, 4, 6}.
— 2 puncte: M ∪ N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}.
— 2 puncte: M \ N = {1, 3, 5}.
— 2 puncte: N \ M = {8}.
— Parțial (1 punct din 2, pentru fiecare operație): un singur element lipsă sau în plus.

2c) [8 puncte]
— 2 puncte: numai la matematică: 14 − 4 = 10 elevi.
— 2 puncte: numai la pictură: 9 − 4 = 5 elevi.
— 2 puncte: elevi care participă la cel puțin un cerc: 10 + 4 + 5 = 19.
— 2 puncte: elevi care nu participă la niciun cerc: 25 − 19 = 6.
— Parțial (4 puncte în total): raționamentul greșit 25 − 14 − 9 = 2 (dubla scădere a celor 4) nu primește punctele pentru ultimele două etape; primele două etape se punctează dacă apar.
— ECF: greșeală de calcul la o etapă, cu etapele următoare corecte pe valorile proprii: se pierd doar punctele etapei greșite.

SUBIECTUL 3 — Descompunere, cmmdc și cmmmc [18 puncte]

3a) [6 puncte]
— 3 puncte: 120 = 2³ · 3 · 5.
— 3 puncte: 90 = 2 · 3² · 5.
— Parțial (2 puncte din 3, pentru fiecare număr): descompunere cu o singură greșeală de exponent, dar cu metoda împărțirilor succesive vizibilă.

3b) [8 puncte]
— 4 puncte: cmmdc(120; 90) = 2 · 3 · 5 = 30 (2 puncte pentru alegerea factorilor comuni la puterea cea mai mică, 2 puncte pentru rezultatul 30).
— 4 puncte: cmmmc(120; 90) = 2³ · 3² · 5 = 360 (2 puncte pentru alegerea corectă a factorilor, 2 puncte pentru rezultatul 360).
— ECF: descompunere greșită la a), dar regula cmmdc/cmmmc aplicată corect pe descompunerile proprii: 3 puncte din 4 pentru fiecare.

3c) [4 puncte]
— 2 puncte: calculul 30 · 360 = 10 800.
— 2 puncte: calculul 120 · 90 = 10 800 și concluzia că produsele sunt egale.
— ECF: cu valori proprii greșite de la b), verificarea efectuată corect (ambele produse calculate și comparate) primește 3 puncte din 4.

SUBIECTUL 4 — Divizori, multipli și proprietăți ale divizibilității [16 puncte]

4a) [6 puncte]
— 3 puncte: D(28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28}.
— 3 puncte: multiplii nenuli ai lui 9 mai mici decât 50: 9, 18, 27, 36, 45.
— Parțial (2 puncte din 3, pentru fiecare listă): un singur element lipsă sau în plus (de exemplu omiterea lui 7 dintre divizori sau includerea lui 54 printre multipli).

4b) [6 puncte]
— 3 puncte: scrierea fiecărui termen ca produs cu factorul 14 (42 = 14 · 3; 56 = 14 · 4; 70 = 14 · 5) — câte 1 punct pe termen.
— 2 puncte: invocarea proprietății (dacă fiecare termen al sumei este divizibil cu 14, atunci suma este divizibilă cu 14) sau factorizarea s = 14 · (3 + 4 + 5).
— 1 punct: concluzia clară că s este divizibil cu 14.
— Atenție: calcularea directă s = 168 = 14 · 12, fără proprietate, primește cel mult 3 puncte (cerința era „fără a calcula mai întâi suma").

4c) [4 puncte]
— 2 puncte: descompunerile 12 = 2² · 3 și 27 = 3³ (sau găsirea divizorului comun 3 prin altă metodă corectă).
— 2 puncte: concluzia cmmdc(12; 27) = 3 ≠ 1, deci numerele NU sunt prime între ele.
— Parțial (2 puncte în total): răspunsul „nu" cu justificare incompletă (de exemplu doar „amândouă se împart la 3", fără cmmdc).

SUBIECTUL 5 — Problemă practică [18 puncte]

5a) [10 puncte]
— 3 puncte: justificarea faptului că latura plăcii este un divizor comun al numerelor 360 și 300, iar pentru plăci cât mai mari se caută cmmdc.
— 2 puncte: descompunerea 360 = 2³ · 3² · 5.
— 2 puncte: descompunerea 300 = 2² · 3 · 5².
— 3 puncte: cmmdc(360; 300) = 2² · 3 · 5 = 60, deci latura este de 60 cm.
— Parțial (5 puncte în total): rezultatul 60 cm obținut prin încercări, fără metoda cmmdc, dar cu verificarea faptului că 60 divide atât 360, cât și 300.

5b) [6 puncte]
— 2 puncte: pe lungime: 360 : 60 = 6 plăci.
— 2 puncte: pe lățime: 300 : 60 = 5 plăci.
— 2 puncte: numărul total: 6 · 5 = 30 de plăci.
— ECF: latură greșită la a), dar împărțirile și înmulțirea corecte pe valoarea proprie: punctaj întreg la b).

5c) [2 puncte]
— 2 puncte: costul total: 30 · 12 = 360 de lei.
— ECF: număr de plăci greșit la b), dar înmulțirea cu 12 corectă pe valoarea proprie: punctaj întreg la c).

Din oficiu: 10 puncte

Verificarea totalului: 18 + 20 + 18 + 16 + 18 = 90 de puncte + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte

CONVERSIE PUNCTE ÎN NOTĂ (Scara 1–10)

Nota = punctajul total : 10 (de exemplu, 76 de puncte → nota 7,60).

REZOLVAREA SUBIECTULUI 1

a) A conține numerele naturale de la 3 (inclusiv) până la 9 (exclusiv):
A = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, deci card A = 6.
B conține numerele naturale impare mai mici decât 8:
B = {1, 3, 5, 7}, deci card B = 4.

b) Elementele mulțimii C sunt multiplii lui 5 cel mult egali cu 20:
C = {x ∈ ℕ | x este multiplu al lui 5 și x ≤ 20}.
(Se acceptă orice descriere corectă echivalentă.)

c) 7 ∈ A (deoarece 3 ≤ 7 < 9); 9 ∉ A (deoarece 9 nu este strict mai mic decât 9);
2 ∉ B (deoarece 2 este par); 5 ∈ B (deoarece 5 este impar și 5 < 8).

d) (i) {5, 7} ⊂ B este ADEVĂRAT, deoarece ambele elemente, 5 și 7, aparțin mulțimii B.
(ii) {4, 6} ⊂ B este FALS, deoarece 4 ∉ B (4 este număr par, iar B conține doar numere impare).

REZOLVAREA SUBIECTULUI 2

a) În diagrama Venn-Euler, în zona comună (intersecția) se scriu 2, 4 și 6; numai în M se scriu 1, 3 și 5; numai în N se scrie 8.

b) M ∩ N = elementele comune = {2, 4, 6}.
M ∪ N = toate elementele, scrise o singură dată = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}.
M \ N = elementele din M care nu sunt în N = {1, 3, 5}.
N \ M = elementele din N care nu sunt în M = {8}.

c) Numai la cercul de matematică: 14 − 4 = 10 elevi.
Numai la cercul de pictură: 9 − 4 = 5 elevi.
Elevi care participă la cel puțin un cerc: 10 + 4 + 5 = 19.
Elevi care nu participă la niciun cerc: 25 − 19 = 6.
Verificare: 10 + 4 + 5 + 6 = 25 de elevi, adică toată clasa.

REZOLVAREA SUBIECTULUI 3

a) 120 = 2 · 60 = 2 · 2 · 30 = 2 · 2 · 2 · 15 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5, deci 120 = 2³ · 3 · 5.
90 = 2 · 45 = 2 · 3 · 15 = 2 · 3 · 3 · 5, deci 90 = 2 · 3² · 5.
Verificare: 8 · 3 · 5 = 120 și 2 · 9 · 5 = 90.

b) cmmdc = produsul factorilor primi comuni, luați la puterea cea mai mică:
cmmdc(120; 90) = 2 · 3 · 5 = 30.
cmmmc = produsul factorilor primi comuni și necomuni, luați la puterea cea mai mare:
cmmmc(120; 90) = 2³ · 3² · 5 = 8 · 9 · 5 = 360.

c) cmmdc · cmmmc = 30 · 360 = 10 800.
120 · 90 = 10 800.
Cele două produse sunt egale, deci egalitatea este verificată.

REZOLVAREA SUBIECTULUI 4

a) Divizorii naturali ai lui 28 (numerele care îl împart exact pe 28):
D(28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28}.
Multiplii nenuli ai lui 9 mai mici decât 50: 9, 18, 27, 36, 45 (următorul, 54, depășește 50).

b) Fiecare termen al sumei este divizibil cu 14:
42 = 14 · 3; 56 = 14 · 4; 70 = 14 · 5.
Dacă fiecare termen al unei sume este divizibil cu 14, atunci și suma este divizibilă cu 14:
s = 14 · 3 + 14 · 4 + 14 · 5 = 14 · (3 + 4 + 5) = 14 · 12.
Deci s este divizibil cu 14. (Într-adevăr, s = 168 = 14 · 12.)

c) 12 = 2² · 3 și 27 = 3³. Factorul prim 3 este comun, deci cmmdc(12; 27) = 3.
Două numere sunt prime între ele dacă cel mai mare divizor comun al lor este 1. Cum cmmdc(12; 27) = 3 ≠ 1, numerele 12 și 27 NU sunt prime între ele.

REZOLVAREA SUBIECTULUI 5

a) Latura plăcii trebuie să se cuprindă exact atât în lungimea de 360 cm, cât și în lățimea de 300 cm (fără tăieri și fără spații), deci latura este un divizor comun al numerelor 360 și 300. Pentru plăci cât mai mari, căutăm cel mai mare divizor comun.
360 = 2³ · 3² · 5 și 300 = 2² · 3 · 5².
cmmdc(360; 300) = 2² · 3 · 5 = 60.
Latura unei plăci este de 60 cm.

b) Pe lungime încap 360 : 60 = 6 plăci.
Pe lățime încap 300 : 60 = 5 plăci.
În total sunt necesare 6 · 5 = 30 de plăci.

c) Costul total: 30 · 12 = 360 de lei.