Test sumativ de matematică — modulul 1, clasa a VIII-a

BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE
Test sumativ: Modulul 1 — Numere reale: rădăcina pătrată și operații cu radicali
Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pentru subiecte + 10 puncte din oficiu)

SUBIECTUL I (15 puncte) — 3 itemi × 5 puncte

Pentru fiecare item se acordă 5 puncte pentru răspunsul corect încercuit; 0 puncte pentru răspuns greșit, lipsă sau mai multe variante încercuite. Nu se acordă punctaj parțial la itemii cu alegere multiplă.

1. Răspuns corect: a) — 5 puncte
2. Răspuns corect: a) — 5 puncte
3. Răspuns corect: a) — 5 puncte

SUBIECTUL al II-lea (20 puncte)

a) √64 + √36 − √100 = 4: 6 puncte
- 3 puncte: calcularea corectă a celor trei radicali (√64 = 8, √36 = 6, √100 = 10) — câte 1 punct pentru fiecare radical
- 3 puncte: efectuarea corectă a adunării și scăderii: 8 + 6 − 10 = 4
- Ecf: dacă un radical este calculat greșit, dar adunarea și scăderea sunt efectuate corect pe valorile proprii, se acordă punctele pentru calculul final (maximum 5 puncte din 6).

b) 2√3 + 5√3 − 4√3 = 3√3: 6 puncte
- 3 puncte: recunoașterea termenilor asemenea și scrierea (2 + 5 − 4)√3
- 3 puncte: rezultatul final 3√3
- Greșeala frecventă 3√9 sau 9 (elevul „adună și radicalii") primește 0 puncte pentru rezultat; se păstrează cele 3 puncte pentru coeficienți doar dacă suma 2 + 5 − 4 = 3 apare explicit corect.

c) √2 · √18 = 6: 8 puncte
- 4 puncte: aplicarea corectă a regulii √a · √b = √(a · b), adică √2 · √18 = √36 (sau, alternativ, √18 = 3√2 și √2 · 3√2 = 3 · 2)
- 4 puncte: rezultatul final 6
- Se acordă punctaj integral pentru oricare dintre cele două metode, cu redactare completă.
- Răspunsul √36 lăsat necalculat primește doar primele 4 puncte.

SUBIECTUL al III-lea (20 puncte)

a) √72 = 6√2: 7 puncte
- 3 puncte: descompunerea lui 72 cu un factor pătrat perfect: 72 = 36 · 2 (sau echivalent)
- 4 puncte: rezultatul final 6√2
- Se acordă doar 3 puncte în total pentru forma incompletă 2√18 (radicalul mai poate fi simplificat).
- Dacă elevul scrie direct 6√2 fără pas intermediar, dar verificarea (6√2)² = 72 sau descompunerea este vizibilă, se acordă punctajul integral.

b) 3√5 = √45: 6 puncte
- 3 puncte: scrierea factorului ca radical: 3 = √9
- 3 puncte: rezultatul final √45
- Greșeala frecventă √15 (elevul înmulțește 3 · 5 fără a ridica factorul la pătrat) primește 0 puncte pentru rezultat.

c) 10/√5 = 2√5: 7 puncte
- 3 puncte: amplificarea corectă a fracției cu √5: 10√5/(√5 · √5) = 10√5/5
- 2 puncte: calcularea numitorului: √5 · √5 = 5
- 2 puncte: simplificarea finală: 10√5/5 = 2√5
- Forma 10√5/5 nesimplificată primește 5 puncte din 7.
- Ecf: orice metodă corectă echivalentă (de exemplu 10/√5 = 10√5/5 scris direct) primește punctajul integral dacă rezultatul final este 2√5.

SUBIECTUL al IV-lea (20 puncte)

a) Compararea 3√2 > 2√3: 8 puncte
- 2 puncte: introducerea primului factor sub radical: 3√2 = √18
- 2 puncte: introducerea celui de-al doilea factor sub radical: 2√3 = √12
- 2 puncte: compararea numerelor de sub radical: 18 > 12
- 2 puncte: concluzia corectă: 3√2 > 2√3
- Se acceptă și compararea pătratelor: (3√2)² = 18 și (2√3)² = 12, cu același punctaj pe pași.
- Compararea doar prin aproximări zecimale (3√2 ≈ 4,24; 2√3 ≈ 3,46), cu concluzie corectă, primește maximum 4 puncte din 8 — justificarea cerută este prin calcul exact.

b) Media geometrică = 10: 6 puncte
- 3 puncte: scrierea formulei și a produsului: mg = √(4 · 25) = √100
- 3 puncte: rezultatul final 10
- Greșeala frecventă: confundarea cu media aritmetică (4 + 25)/2 = 14,5 primește 0 puncte.

c) Ordonarea √3 < 2 < √5: 6 puncte
- 3 puncte: aducerea la aceeași formă: 2 = √4 (sau estimarea corectă a fiecărui radical)
- 3 puncte: ordinea crescătoare corectă: √3 < 2 < √5
- Ordinea corectă fără nicio justificare primește 3 puncte din 6.
- Ordinea descrescătoare scrisă în locul celei crescătoare, cu justificare corectă, primește 3 puncte din 6.

SUBIECTUL al V-lea (15 puncte)

a) Latura terenului: 5 puncte
- 3 puncte: scrierea relației l = √196 (din A = l²)
- 2 puncte: rezultatul final l = 14 m
- Răspunsul 14 fără unitate de măsură pierde 1 punct.

b) Perimetrul terenului: 4 puncte
- 2 puncte: scrierea formulei P = 4 · l
- 2 puncte: rezultatul final P = 56 m
- Ecf: dacă latura de la a) era greșită, dar perimetrul este calculat corect pe valoarea proprie, se acordă punctajul integral la b).

c) Justificarea pentru aria de 50 m²: 6 puncte
- 2 puncte: scrierea laturii ca radical: l = √50
- 2 puncte: încadrarea între pătrate perfecte consecutive: 49 < 50 < 64, deci 7 < √50 < 8
- 2 puncte: concluzia corectă: √50 nu este număr natural, deci vecinul nu are dreptate
- Se acceptă și justificarea prin iraționalitate: √50 = 5√2, număr irațional, deci nu este natural — punctaj integral.
- Răspunsul „nu are dreptate" fără nicio justificare primește 0 puncte.

RECAPITULARE PUNCTAJ

TABEL DE CONVERSIE PUNCTE → NOTĂ

Nota finală = punctajul total împărțit la 10, calculată cu două zecimale (de exemplu, 87 de puncte → nota 8,70).

REZOLVARE — TEST SUMATIV: MODULUL 1
Numere reale: rădăcina pătrată și operații cu radicali

SUBIECTUL I — itemi în stil EN

1. Răspuns corect: a)
√9 = 3, √16 = 4 și √25 = 5 sunt numere naturale (pătrate perfecte sub radical).
√2 nu poate fi scris ca fracție de numere întregi, deci este număr irațional (√2 ≈ 1,41...).

2. Răspuns corect: a)
Descompunem 50 într-un produs în care un factor este pătrat perfect:
50 = 25 · 2
√50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2
Atenție la distractori: 2√5 = √20, 10√5 = √500 și 25√2 = √1250 — niciunul nu este egal cu √50.

3. Răspuns corect: a)
Comparăm pătratele celor două numere pozitive: a² = 5 și b² = 2² = 4.
Deoarece 5 > 4, rezultă √5 > 2, adică a > b.
(Verificare prin estimare: √5 ≈ 2,24 > 2.)

SUBIECTUL al II-lea — Operații cu numere reale

a) Calculăm fiecare radical (toate numerele de sub radical sunt pătrate perfecte):
√64 = 8, √36 = 6, √100 = 10
Atunci:
√64 + √36 − √100 = 8 + 6 − 10 = 14 − 10 = 4

Răspuns: 4.

b) Toți termenii conțin același radical, √3, deci reducem termenii asemenea (adunăm și scădem coeficienții):
2√3 + 5√3 − 4√3 = (2 + 5 − 4)√3 = 3√3

Răspuns: 3√3.

c) Folosim regula √a · √b = √(a · b), pentru a, b ≥ 0:
√2 · √18 = √(2 · 18) = √36 = 6

Răspuns: 6.

Metodă alternativă (la fel de corectă): scoatem întâi factorii de sub radical:
√18 = √(9 · 2) = 3√2, deci √2 · √18 = √2 · 3√2 = 3 · (√2 · √2) = 3 · 2 = 6.

SUBIECTUL al III-lea — Scoaterea și introducerea factorilor; raționalizare

a) Căutăm cel mai mare pătrat perfect care îl divide pe 72:
72 = 36 · 2
√72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2

Observație: dacă descompunem 72 = 4 · 18, obținem √72 = 2√18 — corect, dar incomplet, pentru că √18 mai poate fi simplificat: 2√18 = 2 · 3√2 = 6√2. Forma finală trebuie să aibă sub radical un număr fără factori pătrate perfecte.

Verificare: (6√2)² = 36 · 2 = 72 ✓

b) Introducem factorul 3 sub radical scriind 3 = √9:
3√5 = √9 · √5 = √(9 · 5) = √45

Verificare: √45 = √(9 · 5) = 3√5 ✓

c) Amplificăm fracția cu √5 pentru a elimina radicalul de la numitor:
10/√5 = (10 · √5)/(√5 · √5) = 10√5/5

Simplificăm fracția prin 5:
10√5/5 = 2√5

Răspuns: 2√5.

Verificare: 2√5 · √5 = 2 · 5 = 10, deci 2√5 este exact câtul 10/√5 ✓

SUBIECTUL al IV-lea — Compararea și ordonarea numerelor reale

a) Introducem factorii sub radical pentru a compara două numere pozitive:
3√2 = √(9 · 2) = √18
2√3 = √(4 · 3) = √12

Deoarece 18 > 12 și funcția radical păstrează ordinea pentru numere pozitive:
√18 > √12, adică 3√2 > 2√3.

Răspuns: 3√2 > 2√3.

b) Media geometrică a două numere pozitive a și b este mg = √(a · b):
mg = √(4 · 25) = √100 = 10

Răspuns: media geometrică este 10.

c) Scriem toate numerele sub formă de radical: √3, 2 = √4, √5.
Comparăm numerele de sub radical: 3 < 4 < 5, deci √3 < √4 < √5.

Ordinea crescătoare: √3 < 2 < √5.

(Verificare prin estimare: √3 ≈ 1,73; 2; √5 ≈ 2,24 — ordinea se confirmă.)

SUBIECTUL al V-lea — Problemă aplicată

a) Aria pătratului este A = l², deci latura este l = √A:
l = √196 = 14 m

Verificare: 14² = 196 ✓

b) Perimetrul pătratului:
P = 4 · l = 4 · 14 = 56 m

c) Latura unui pătrat cu aria de 50 m² ar fi l = √50 m.
Încadrăm √50 între două numere naturale consecutive:
7² = 49 < 50 < 64 = 8², deci 7 < √50 < 8.

Așadar √50 nu este număr natural (este număr irațional, √50 = 5√2 ≈ 7,07).

Răspuns: vecinul NU are dreptate — latura terenului său nu poate fi un număr natural de metri, pentru că √50 se află strict între 7 și 8.