Test sumativ de matematică — modulul 2, clasa a VIII-a

BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE
Test sumativ: Modulul 2 — Intervale de numere reale, inecuații și calcul algebric
Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pentru subiecte + 10 puncte din oficiu)

SUBIECTUL I (15 puncte) — 3 itemi × 5 puncte

Pentru fiecare item se acordă 5 puncte pentru răspunsul corect încercuit; 0 puncte pentru răspuns greșit, lipsă sau mai multe variante încercuite. Nu se acordă punctaj parțial la itemii cu alegere multiplă.

1. Răspuns corect: a) — 5 puncte
2. Răspuns corect: a) — 5 puncte
3. Răspuns corect: a) — 5 puncte

SUBIECTUL al II-lea (20 puncte)

a) Rezolvarea inecuației: 14 puncte
- 4 puncte: desfacerea corectă a parantezei (5x − 5 − 2x ≤ 7)
- 4 puncte: reducerea termenilor asemenea și izolarea termenului cu x (3x ≤ 12)
- 3 puncte: obținerea soluției x ≤ 4
- 3 puncte: scrierea mulțimii soluțiilor sub formă de interval: (−∞, 4]
- Ecf: dacă elevul greșește desfacerea parantezei, dar continuă corect pașii pe forma proprie, primește punctele pentru pașii următori (maximum 10 puncte din 14).
- Se acordă doar 1 punct din 3 pentru interval scris cu capătul greșit, de exemplu (−∞, 4).

b) Cel mai mare număr natural soluție: 6 puncte
- 3 puncte: identificarea răspunsului corect: 4
- 3 puncte: justificarea (4 verifică inecuația / 4 aparține intervalului, iar 5 nu verifică)
- Se acordă 3 puncte pentru răspuns corect fără justificare.
- Ecf: dacă intervalul de la a) era greșit, dar elevul alege corect cel mai mare număr natural din intervalul propriu, primește punctajul integral la b).

SUBIECTUL al III-lea (20 puncte)

a) (x + 3)² = x² + 6x + 9: 6 puncte
- 3 puncte: aplicarea corectă a formulei (a + b)² = a² + 2ab + b²
- 3 puncte: rezultatul final x² + 6x + 9
- Greșeala frecventă (x + 3)² = x² + 9 (lipsă termen dublu produs) primește 0 puncte pentru rezultat, dar poate primi 1 punct dacă formula este enunțată corect.

b) (2x − 5)(2x + 5) = 4x² − 25: 6 puncte
- 3 puncte: recunoașterea formulei (a − b)(a + b) = a² − b²
- 3 puncte: rezultatul final 4x² − 25 (atenție: (2x)² = 4x², nu 2x²; pentru rezultatul 2x² − 25 se acordă doar punctele pentru formulă, adică 3 puncte)

c) E(x) nu depinde de x: 8 puncte
- 2 puncte: dezvoltarea (x + 1)² = x² + 2x + 1
- 2 puncte: dezvoltarea (x − 1)² = x² − 2x + 1
- 2 puncte: reducerea corectă a termenilor asemenea
- 2 puncte: obținerea rezultatului E(x) = 2 și concluzia că expresia nu depinde de x
- Ecf: o eroare de semn la una dintre dezvoltări, cu reducere corectă pe forma proprie, pierde doar punctele dezvoltării greșite (maximum 6 puncte din 8).

SUBIECTUL al IV-lea (20 puncte)

a) 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2): 8 puncte
- 4 puncte: darea factorului comun 3: 3(x² − 4)
- 4 puncte: descompunerea diferenței de pătrate: 3(x − 2)(x + 2)
- Se acordă 4 puncte în total dacă elevul se oprește la 3(x² − 4) (descompunere incompletă).
- Dacă elevul scrie direct rezultatul corect 3(x − 2)(x + 2), fără pasul intermediar, se acordă punctajul integral (8 puncte).

b) x² − 10x + 25 = (x − 5)²: 6 puncte
- 3 puncte: recunoașterea structurii de pătrat al unui binom (identificarea lui a = x, b = 5)
- 3 puncte: scrierea corectă (x − 5)²
- Pentru răspunsul (x + 5)² se acordă 0 puncte la rezultat (semn greșit), dar se păstrează cele 3 puncte pentru recunoașterea structurii dacă aceasta este vizibilă în redactare.

c) xy + 2x + 3y + 6 = (y + 2)(x + 3): 6 puncte
- 3 puncte: gruparea corectă a termenilor și factorul comun pe fiecare grupă: x(y + 2) + 3(y + 2)
- 3 puncte: darea factorului comun (y + 2) și rezultatul final (y + 2)(x + 3)
- Se acceptă orice grupare echivalentă, de exemplu (xy + 3y) + (2x + 6) = y(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3)(y + 2).

SUBIECTUL al V-lea (15 puncte)

a) Aria noii grădini: 4 puncte
- 2 puncte: identificarea laturilor (x + 3) și (x − 3)
- 2 puncte: scrierea ariei A = (x + 3)(x − 3)
- Se acceptă și forma dezvoltată x² − 9 scrisă direct, cu punctaj integral.

b) Diferența de 9 m²: 7 puncte
- 3 puncte: aplicarea formulei diferenței de pătrate: (x + 3)(x − 3) = x² − 9
- 2 puncte: compararea cu aria pătratului: x² − (x² − 9) = 9
- 2 puncte: concluzia că diferența este 9 m² pentru orice x > 3
- Se acordă maximum 3 puncte dacă elevul verifică doar pe un caz numeric particular (de exemplu x = 12), fără demonstrația generală cu formula.

c) Calculul pentru x = 12: 4 puncte
- 2 puncte: înlocuirea corectă: A = 15 · 9 (sau A = 144 − 9)
- 2 puncte: rezultatul final 135 m²
- Ecf: dacă expresia ariei de la a) era greșită, dar calculul numeric pe expresia proprie este corect, se acordă cele 2 puncte pentru calcul.

RECAPITULARE PUNCTAJ

TABEL DE CONVERSIE PUNCTE → NOTĂ

Nota finală = punctajul total împărțit la 10, calculată cu două zecimale (de exemplu, 87 de puncte → nota 8,70).

REZOLVARE — TEST SUMATIV: MODULUL 2
Intervale de numere reale, inecuații și calcul algebric

SUBIECTUL I — itemi în stil EN

1. Răspuns corect: a)
Intervalul [−2, 3) conține toate numerele reale x cu −2 ≤ x < 3. Capătul −2 este inclus (paranteză pătrată), iar capătul 3 NU este inclus (paranteză rotundă).
Numerele întregi din interval: −2, −1, 0, 1, 2.

2. Răspuns corect: a)
A = (−∞, 4) conține numerele strict mai mici decât 4; B = [1, 7] conține numerele de la 1 (inclus) la 7 (inclus).
Numerele comune sunt cele cu 1 ≤ x < 4, adică A ∩ B = [1, 4).
Atenție la capete: 1 este inclus (aparține ambelor mulțimi), dar 4 nu este inclus (nu aparține lui A).

3. Răspuns corect: a)
3x − 6 ≤ 0
3x ≤ 6
x ≤ 2
Mulțimea soluțiilor: (−∞, 2].

SUBIECTUL al II-lea — Inecuații

a) 5(x − 1) − 2x ≤ 7

Desfacem paranteza:
5x − 5 − 2x ≤ 7

Reducem termenii asemenea:
3x − 5 ≤ 7

Adunăm 5 în ambii membri:
3x ≤ 12

Împărțim ambii membri la 3 (număr pozitiv, deci sensul inegalității se păstrează):
x ≤ 4

Mulțimea soluțiilor: S = (−∞, 4].

Verificare: pentru x = 4 obținem 5(4 − 1) − 2 · 4 = 15 − 8 = 7 ≤ 7 (adevărat), deci 4 este soluție; pentru x = 5 obținem 5(5 − 1) − 2 · 5 = 20 − 10 = 10 > 7 (fals), deci 5 nu este soluție — în acord cu x ≤ 4.

b) Numerele naturale care verifică x ≤ 4 sunt 0, 1, 2, 3, 4.
Cel mai mare număr natural soluție este 4, deoarece 4 ∈ (−∞, 4] (capătul 4 este inclus), iar orice număr natural mai mare decât 4 (de exemplu 5) nu verifică inecuația.

Răspuns: 4.

SUBIECTUL al III-lea — Formule de calcul prescurtat

a) Folosim formula (a + b)² = a² + 2ab + b², cu a = x și b = 3:
(x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3² = x² + 6x + 9

b) Folosim formula (a − b)(a + b) = a² − b², cu a = 2x și b = 5:
(2x − 5)(2x + 5) = (2x)² − 5² = 4x² − 25

c) Calculăm fiecare termen:
(x + 1)² = x² + 2x + 1
(x − 1)² = x² − 2x + 1

Atunci:
E(x) = (x² + 2x + 1) + (x² − 2x + 1) − 2x²
E(x) = x² + 2x + 1 + x² − 2x + 1 − 2x²
E(x) = (x² + x² − 2x²) + (2x − 2x) + (1 + 1)
E(x) = 0 + 0 + 2
E(x) = 2

Deoarece E(x) = 2 pentru orice număr real x, expresia nu depinde de x.

SUBIECTUL al IV-lea — Descompuneri în factori

a) 3x² − 12
Dăm factor comun pe 3:
3x² − 12 = 3(x² − 4)
Recunoaștem diferența de pătrate x² − 4 = x² − 2² = (x − 2)(x + 2):
3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2)

b) x² − 10x + 25
Recunoaștem pătratul unui binom: x² − 2 · x · 5 + 5² = (x − 5)²
x² − 10x + 25 = (x − 5)²

Verificare: (x − 5)² = x² − 10x + 25 ✓

c) xy + 2x + 3y + 6
Grupăm termenii:
xy + 2x + 3y + 6 = (xy + 2x) + (3y + 6)
= x(y + 2) + 3(y + 2)
= (y + 2)(x + 3)

Verificare: (y + 2)(x + 3) = xy + 3y + 2x + 6 ✓

SUBIECTUL al V-lea — Problemă aplicată

a) Laturile noii grădini dreptunghiulare sunt (x + 3) metri și (x − 3) metri.
Aria noii grădini: A = (x + 3)(x − 3) m²

b) Folosim formula diferenței de pătrate:
(x + 3)(x − 3) = x² − 3² = x² − 9

Aria grădinii pătrate inițiale este x² m².
Diferența dintre arii:
x² − (x² − 9) = x² − x² + 9 = 9

Deci, oricare ar fi x > 3, aria noii grădini este cu exact 9 m² mai mică decât aria grădinii pătrate. (Condiția x > 3 asigură că latura micșorată, x − 3, este pozitivă.)

c) Pentru x = 12:
A = (12 + 3)(12 − 3) = 15 · 9 = 135 m²

Verificare: aria pătratului era 12² = 144 m², iar 144 − 135 = 9 m² — în acord cu punctul b).