Test sumativ de matematică — modulul 2, clasa a VI-a

BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE

Se acordă 10 puncte din oficiu. Punctaj total: 100 de puncte. Nota finală se obține prin împărțirea punctajului total la 10. Nu se acordă punctaje intermediare altele decât cele prevăzute în barem. Orice altă metodă de rezolvare corectă se punctează integral.

SUBIECTUL 1 — Mulțimi [18 puncte]

1a) [5 puncte]
— 2 puncte: scrierea corectă A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
— 1 punct: scrierea corectă B = {2, 4, 6, 8, 10}.
— 2 puncte: card A = 6 și card B = 5 (câte 1 punct fiecare).
— Parțial (1 punct din cele 2 pentru A): mulțimea A cu un singur divizor lipsă sau în plus.

1b) [9 puncte]
— 3 puncte: A ∩ B = {2, 4, 6}.
— 3 puncte: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}.
— 3 puncte: A \ B = {1, 3, 12}.
— Parțial (2 puncte din 3, pentru fiecare operație): un singur element lipsă sau în plus.
— ECF (eroare preluată): dacă mulțimile de la a) sunt greșite, dar operațiile sunt aplicate corect pe mulțimile proprii, se acordă punctajul întreg la b).

1c) [4 puncte]
— 1 punct: (i) FALS; 1 punct: justificarea (8 nu este divizor al lui 12).
— 1 punct: (ii) ADEVĂRAT; 1 punct: justificarea (B conține doar numere pare cel mult egale cu 10).
— Valoarea de adevăr corectă fără justificare: se acordă doar punctul pentru valoarea de adevăr.

SUBIECTUL 2 — Divizibilitate [18 puncte]

2a) [6 puncte]
— 3 puncte: 180 = 2² · 3² · 5.
— 3 puncte: 168 = 2³ · 3 · 7.
— Parțial (2 puncte din 3, pentru fiecare număr): descompunere cu o singură greșeală de exponent, dar cu metoda împărțirilor succesive vizibilă.

2b) [8 puncte]
— 4 puncte: cmmdc(180; 168) = 2² · 3 = 12 (2 puncte pentru alegerea factorilor comuni la puterea cea mai mică, 2 puncte pentru rezultatul 12).
— 4 puncte: cmmmc(180; 168) = 2³ · 3² · 5 · 7 = 2520 (2 puncte pentru alegerea corectă a factorilor, 2 puncte pentru rezultatul 2520).
— ECF: descompunere greșită la a), dar regula cmmdc/cmmmc aplicată corect pe descompunerile proprii: 3 puncte din 4 pentru fiecare.

2c) [4 puncte]
— 2 puncte: descompunerile 25 = 5² și 36 = 2² · 3² (sau constatarea, prin verificarea divizorilor, că numerele nu au divizori comuni diferiți de 1).
— 2 puncte: concluzia cmmdc(25; 36) = 1, deci numerele sunt prime între ele.
— Parțial (2 puncte în total): răspunsul „da" cu justificare incompletă.

SUBIECTUL 3 — Probleme cu cmmdc și cmmmc [18 puncte]

3a) [9 puncte]
— 2 puncte: recunoașterea faptului că numărul maxim de buchete este cmmdc(36; 48).
— 3 puncte: calculul cmmdc(36; 48) = 12 (cu descompunerile 36 = 2² · 3² și 48 = 2⁴ · 3).
— 2 puncte: 36 : 12 = 3 trandafiri în fiecare buchet.
— 2 puncte: 48 : 12 = 4 lalele în fiecare buchet.
— Parțial (4 puncte în total): rezultatele 12 buchete, 3 trandafiri și 4 lalele obținute prin încercări, fără metoda cmmdc, dar cu verificare corectă.

3b) [9 puncte]
— 2 puncte: recunoașterea faptului că prima plecare comună are loc după cmmmc(12; 18) minute.
— 2 puncte: calculul cmmmc(12; 18) = 36.
— 2 puncte: ora primei plecări comune: 8:36.
— 3 puncte: numărarea corectă a plecărilor comune până la ora 11:00 inclusiv: de 5 ori (8:36, 9:12, 9:48, 10:24, 11:00).
— Parțial (2 puncte din 3): răspunsul „de 4 ori", dacă elevul a numărat corect dar a exclus ora 11:00 — se acordă doar dacă raționamentul este scris.
— ECF: cmmmc greșit, dar ora și numărătoarea corecte pe valoarea proprie: se pierd doar cele 2 puncte ale calculului cmmmc.

SUBIECTUL 4 — Rapoarte și procente [18 puncte]

4a) [6 puncte]
— 1 punct: numărul fetelor: 30 − 12 = 18.
— 2 puncte: raportul 12/18 = 2/3 (fracția corectă dar neadusă la forma ireductibilă: 1 punct).
— 3 puncte: procentul fetelor: 18/30 = 60% (dacă apare doar 6/10 sau 0,6 fără transformarea în procent: 2 puncte).

4b) [6 puncte]
— 3 puncte: (i) 25% din 84 = 21 (1 punct pentru scrierea 25/100 · 84, 2 puncte pentru rezultat).
— 3 puncte: (ii) numărul este 150 (1 punct pentru scrierea condiției 30/100 · n = 45, 2 puncte pentru rezultat).

4c) [6 puncte]
— 3 puncte: reducerea: 15% din 120 = 18 lei.
— 3 puncte: prețul final: 120 − 18 = 102 lei.
— ECF: reducere calculată greșit, dar scăderea efectuată corect cu valoarea proprie: 2 puncte din 3 la prețul final.

SUBIECTUL 5 — Proporții și mărimi direct proporționale [18 puncte]

5a) [5 puncte]
— 2 puncte: scrierea proprietății fundamentale a proporției: x · 12 = 15 · 8.
— 3 puncte: x = 120 : 12 = 10.
— Parțial (3 puncte în total): x = 10 obținut prin amplificarea sau simplificarea rapoartelor, cu justificare scrisă.

5b) [6 puncte]
— 2 puncte: așezarea corectă a datelor (3 kg → 12 lei; 7 kg → y lei) sau recunoașterea proporționalității directe.
— 2 puncte: prețul unui kilogram: 12 : 3 = 4 lei (sau scrierea proporției 3/7 = 12/y).
— 2 puncte: rezultatul: 28 de lei.

5c) [7 puncte]
— 2 puncte: scrierea condițiilor a/3 = b/4 (= k) și a + b = 84.
— 2 puncte: 7k = 84, deci k = 12.
— 2 puncte: părțile 36 și 48.
— 1 punct: verificarea 36 + 48 = 84.
— Parțial (4 puncte în total): rezultatele 36 și 48 obținute prin încercări, cu verificarea proporționalității directe cu 3 și 4.

Din oficiu: 10 puncte

TOTAL: 90 de puncte + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte

CONVERSIE PUNCTE ÎN NOTĂ (Scara 1–10)

Nota = punctajul total : 10 (de exemplu, 87 de puncte → nota 8,70).

REZOLVAREA SUBIECTULUI 1

a) Divizorii naturali ai lui 12 sunt numerele care îl împart exact pe 12:
A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, deci card A = 6.
Numerele naturale pare cuprinse între 2 și 10 (inclusiv):
B = {2, 4, 6, 8, 10}, deci card B = 5.

b) A ∩ B = elementele comune = {2, 4, 6}.
A ∪ B = toate elementele, scrise o singură dată = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}.
A \ B = elementele din A care nu sunt în B = {1, 3, 12}.

c) (i) 8 ∈ A este FALS, deoarece 8 nu este divizor al lui 12 (împărțirea 12 : 8 nu se face exact).
(ii) 12 ∉ B este ADEVĂRAT, deoarece B conține doar numere pare cel mult egale cu 10, iar 12 > 10.

REZOLVAREA SUBIECTULUI 2

a) 180 = 2 · 90 = 2 · 2 · 45 = 2 · 2 · 3 · 15 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5, deci 180 = 2² · 3² · 5.
168 = 2 · 84 = 2 · 2 · 42 = 2 · 2 · 2 · 21 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7, deci 168 = 2³ · 3 · 7.
Verificare: 4 · 9 · 5 = 180 și 8 · 3 · 7 = 168.

b) cmmdc = produsul factorilor primi comuni, luați la puterea cea mai mică:
cmmdc(180; 168) = 2² · 3 = 12.
cmmmc = produsul factorilor primi comuni și necomuni, luați la puterea cea mai mare:
cmmmc(180; 168) = 2³ · 3² · 5 · 7 = 8 · 9 · 5 · 7 = 72 · 35 = 2520.

c) 25 = 5² și 36 = 2² · 3². Cele două descompuneri nu au niciun factor prim comun, deci cmmdc(25; 36) = 1.
Două numere sunt prime între ele dacă cel mai mare divizor comun al lor este 1, deci 25 și 36 SUNT prime între ele.

REZOLVAREA SUBIECTULUI 3

a) Numărul buchetelor trebuie să fie un divizor comun al numerelor 36 și 48, iar pentru un număr cât mai mare de buchete căutăm cmmdc.
36 = 2² · 3² și 48 = 2⁴ · 3, deci cmmdc(36; 48) = 2² · 3 = 12.
Florăreasa poate face 12 buchete.
Fiecare buchet conține 36 : 12 = 3 trandafiri și 48 : 12 = 4 lalele.

b) Autobuzele pleacă din nou împreună după un număr de minute care este multiplu comun al numerelor 12 și 18; prima dată după cmmmc(12; 18) minute.
12 = 2² · 3 și 18 = 2 · 3², deci cmmmc(12; 18) = 2² · 3² = 36.
Prima plecare comună după ora 8:00 este la 8:00 + 36 de minute = ora 8:36.
De la ora 8:00 până la ora 11:00 sunt 3 ore = 180 de minute. Plecările comune au loc după 36, 72, 108, 144 și 180 de minute, adică la orele 8:36, 9:12, 9:48, 10:24 și 11:00.
Deci, până la ora 11:00 inclusiv, autobuzele mai pleacă împreună de 5 ori.

REZOLVAREA SUBIECTULUI 4

a) Numărul fetelor: 30 − 12 = 18.
Raportul dintre numărul băieților și numărul fetelor: 12/18 = 2/3.
Procentul fetelor: 18/30 = 6/10 = 60/100, deci fetele reprezintă 60% din numărul elevilor clasei.

b) (i) 25% din 84 = 25/100 · 84 = 84 : 4 = 21.
(ii) Fie n numărul căutat. 30% din n = 45, adică 30/100 · n = 45, deci n = 45 · 100 : 30 = 4500 : 30 = 150.
Verificare: 30% din 150 = 45.

c) Reducerea: 15% din 120 = 15/100 · 120 = 1800 : 100 = 18 lei.
Prețul după reducere: 120 − 18 = 102 lei.

REZOLVAREA SUBIECTULUI 5

a) În proporția x/15 = 8/12, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor:
x · 12 = 15 · 8, deci x · 12 = 120, de unde x = 120 : 12 = 10.
Verificare: 10/15 = 2/3 și 8/12 = 2/3.

b) Cantitatea de mere și suma plătită sunt mărimi direct proporționale (regula de trei simplă):
3 kg ............ 12 lei
7 kg ............ y lei
Un kilogram costă 12 : 3 = 4 lei, deci y = 7 · 4 = 28 lei.
Așadar 7 kg de mere costă 28 de lei.

c) Notăm cele două părți cu a și b, unde a/3 = b/4 = k.
Atunci a = 3k, b = 4k și a + b = 84, deci 3k + 4k = 7k = 84, de unde k = 84 : 7 = 12.
Părțile sunt a = 3 · 12 = 36 și b = 4 · 12 = 48.
Verificare: 36 + 48 = 84 și 36/3 = 48/4 = 12.